Олимпиадная задача по планиметрии: три касающиеся окружности и прямая для 8-10 классов
Задача
Три окружности с центрами A, B и C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рисунке. Пусть a, b и c – радиусы окружностей с центрами A, B и C соответственно. Докажите, что 
.
Решение
Пусть M, N и K – точки касания с прямой l окружностей с центрами A, B и С cоответственно.Поскольку линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, расстояние между центрами A и C равно сумме радиусов этих окружностей, т.е. AC = a + c. Пусть F – проекция точки C на радиус AM окружности с центром A, проведённый в точку касания с прямой l. Тогда четырёхугольник CKMF – прямоугольник, поэтому KM = CF. Из прямоугольного треугольника AFC находим, что
.
Аналогично, 
и
.
Точка K лежит между M и N, поэтому MN = KN + KM, или
.
Разделив обе части этого равенства на 
,
получим, что .
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь