Олимпиадная задача по планиметрии: равенство отрезков, высекаемых окружностями

  Пусть точка M лежит на биссектрисе угла с вершиной O, окружность S₁, проходящая через точки O и M, пересекает стороны этого угла в точках A и C, а окружность S₂, также проходящая через точки O и M, пересекает эти стороны в точках B и D соответственно, причём точка A лежит между O и B, а точка D – между O и C.

  Луч OM – биссектриса AOC, поэтому точка M – середина не содержащей точку O дуги AC окружности S₁, значит,  AM = CM.  Аналогично  BM = DM.

  Четырёхугольник OAMC вписан в окружность S₁, поэтому  ∠DCM = ∠OCM = 180° – ∠OAM = ∠BAM.  Аналогично  ∠ABM = ∠CDM.  Значит,

∠AMB = 180° – ∠BAM – ∠ABM = 180° – ∠DCM – ∠CDM = ∠DMC.

  Таким образом, треугольники AMB и CMD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  AB = CD.

Ответ задачи отсутствует