Олимпиадная задача по планиметрии: угол между прямыми AD и BE в равносторонних треугольниках

  Первый способ. Пусть – точка пересечения AD и BE (рис. слева). Заметим, что треугольники ACD и BCE по двум сторонам и углу между ними, откуда следует, что  ∠DAC = ∠EBC.  Значит,  ∠APB = 180° – (∠PAB + ∠PBA) = 180° – (∠CAB + ∠CBA) = 60°.

  Bторой способ. При повороте с центром C и углом 60° точка B переходит в A, E – в D, то есть образом прямой BE является прямая AD и угол между ними равен 60°.   Третий способ. Пусть P – вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников ABC и CDE (рис. справа). Тогда  ∠APC = ∠ABC = 60°  и

∠DPC = 180° – ∠DEC = 120°.  Значит, точки A, P и D лежат на одной прямой. Aналогично, на одной прямой лежат точки B, P и E.

  При этом  ∠APB = ∠ACB = 60°.

60°.