Олимпиадная задача по индукции и текстовым задачам для 10-11 классов от Ромащенко А.

Решение 1:   Будем по одному выбирать некоторые ряды – столбцы и строки. Плохой столбец пересекается со всеми выбранными строками по нулям, плохая строка – со всеми выбранными столбцами по единицам. Вначале ничего не выбрано, и все ряды плохие. Можно считать, что в таблице единиц не меньше, чем нолей. Тогда выберем строку, где единиц не меньше половины. Количество плохих столбцов уменьшится как минимум вдвое. Если найдётся строка, у которой в пересечении с плохими столбцами единиц не меньше, чем нулей, выберем её. Так продолжаем выбирать, пока возможно. Далее есть три варианта.

  1) Выбрано менее 10 строк, и плохих столбцов не осталось. Добавляем к выбранным любые строки до 10, остальные вычёркиваем.

  2) Выбрано 10 строк. Тогда осталось менее  1000 : 2¹⁰   плохих столбцов, то есть их не осталось вообще. Вычёркиваем все строки, кроме избранных.

  3) Выбрано менее 10 строк, и у каждой строки на пересечении с плохими столбцами нулей больше, чем единиц. Тогда в плохих столбцах и всего нулей больше, чем единиц. Будем выбирать плохие столбцы по тому же принципу: берём столбец, если на его пересечении с плохими строками нолей не меньше, чем единиц. Если в итоге плохие строки закончатся, мы победили. Предположим однако, что плохие строки остались, и на пересечении каждого столбца с ними единиц больше, чем нолей. Но тогда получается противоречие: если считать по строкам, то в клетках, стоящих на пересечении плохих строк с плохими столбцами, больше нолей, а если считать по столбцам, – больше единиц.   Замечание. Верно более сильное утверждение: можно вычеркнуть 990 строк... или 992 столбца...

Решение 2:   Индукцией по m + n  докажем более общее утверждение.     Пусть в каждой клетке таблицы, где менее 2^m строк и менее 2ⁿ столцбов, стоит ноль или единица. Тогда можно либо оставить не более m столбцов так, что в каждой строке будет хотя бы один нуль. либо оставить не более n строк так, что каждом столбце будет хотя бы одна единица.   База (таблица 1×1) очевидна.

  Шаг индукции. Пусть в таблице Т нулей не меньше, чем единиц. Тогда есть строка, где нулей не меньше половины. Отметим эту строку и оставим только столбцы, где в ней стоят единицы (если таких нет, то все доказано). В полученной таблице Т₁ стобцов меньше, чем 2^n–1, и по предположению индукции в Т₁ можно оставить не более m "хороших" столбцов (которые будут такими и для Т) или не более  n – 1  "хорошей" строки. В последнем случае, вернув этим строкам исходную длину и добавив отмеченную строку, получим "хороший" набор строк для Т.

Ответ задачи отсутствует