Олимпиадная задача по планиметрии: равнобедренная трапеция и её площади
Задача
Равнобедренная трапеция описана около окружности. Докажите, что биссектриса тупого угла этой трапеции делит её площадь пополам.
Решение
Решение 1:Боковая сторона AB трапеции ABCD равна полусумме оснований BC и AD. Пусть биссектриса тупого угла B пересекает прямую AD в точке E.
∠AEB = ∠EBC = ∠ABE, поэтому AE = AB. Следовательно, точка E лежит внутри основания AD. Площадь треугольника ABE, отсечённого биссектрисой, равна половине площади трапеции, поскольку длина стороны AB равна средней линии трапеции, а высоты треугольника и трапеции совпадают.
Решение 2:Ось симметрии трапеции и биссектриса пересекаются в центре вписанной окружности и вместе с основаниями высекают два равных прямоугольных треугольника с катетами, равными радиусу и половине меньшего основания (на рисунке они закрашены жёлтым цветом). Ось симметрии делит трапецию на две равные половинки. Прибавив к половинке один треугольник и отняв другой, получим часть, отсечённую биссектрисой.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь