Олимпиадная задача по планиметрии и алгебраическим методам для 8–11 классов: коллинеарность точек при перекрашивании
Задача
На бесцветной плоскости покрасили три произвольные точки: одну – в красный цвет, другую – в синий, третью –` в жёлтый. Каждым ходом выбирают на плоскости любые две точки двух из этих цветов и окрашивают еще одну точку в оставшийся цвет так, чтобы эти три точки образовали равносторонний треугольник, в котором цвета вершин идут в порядке "красный, синий, жёлтый" (по часовой стрелке). При этом разрешается красить и уже окрашенную точку плоскости (считаем, что точка может иметь одновременно несколько цветов). Докажите, что сколько бы ходов ни было сделано, все точки одного цвета будут лежать на одной прямой.
Решение
Слово "поворот" везде означает "поворот на 60° по часовой стрелке". Обозначим данные точки К, С и G. Построим точку К' по точкам С и G, и точку С' по G и К. Тогда при повороте вокруг G отрезок К'K переходит в СС'. (Если хоть один из этих отрезков вырождается в точку, то КСG – правильный треугольник и его вершины указаны по часовой стрелке, тогда новых точек вообще не появляется.) Итак, прямая КК' переходит в СС' при повороте вокруг их общей точки О. Назовём первую прямую красной, вторую – синей, а прямую, которая получается поворотом синей вокруг О, – жёлтой. Заметим, что при повороте вокруг любой точки K1 на красной прямой синяя прямая переходит в жёлтую, так как расстояния от К1 до них одинаковые. Поэтому при построении точки G1 по произвольной точке С1, лежащей на синей прямой, и точке К1 мы попадаем на жёлтую прямую. Поскольку G получается из C поворотом вокруг К', то и G лежит на жёлтой прямой. Аналогично доказывается, что и для других пар цветов вновь окрашиваемая точка лежит на прямой своего цвета.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь