Олимпиадная задача Канунникова: куличи Маши и Паши в квадратной песочнице
Задача
В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка высотой 1, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического ведёрка высоты 2. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?
Решение
Пусть в песочнице в итоге оказалось m Машиных и n Пашиных куличей. Обозначим через S площадь основания ведёрка. Так как все куличи имеют одинаковые высоты и одинаковые объёмы, то площадь основания каждого конического кулича равна3S (из формул объёмов цилиндра и конуса). Площадь основания песочницы, с одной стороны, численно равна объёму всего песка, т.е. суммарному объёму2S(m+n)всех куличей, а с другой стороны, больше суммарной площади Sm+3Sn оснований куличей, поскольку эти основания не пересекаются и, будучи кругами, не могут покрыть весь квадрат в основании песочницы. Итак,2S(m+n)>Sm+3Sn , откуда m>n .
Ответ
Машиных куличей больше.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь