Олимпиадная задача по планиметрии: угол BIM в треугольнике ABC — доказательство

Так как средняя линия MN треугольника ABC параллельна стороне AB , BAN+ MNA=180^o , а значит, BAN+ MNA=90^o . С другой стороны, поскольку угол AIN прямой, BAN+ INA=90^o . Стало быть, INA= MNA , т.е. точка I лежит на биссектрисе угла MNA (рис.). Таким образом, из условия AIN=90^o получаем, что центр I вписанной окружности треугольника ABC равноудалён от прямых AC , BC , AB и  MN (т.е. вписанная окружность треугольника ABC касается его средней линии MN ). Обращая переходы в предыдущем абзаце, получаем, что и BIM=90^o . А именно:

IBM+ BMI= ABM+ BMN=90^o,

поэтому

BIM=180^o-( IBM+ BMI)=90^o.

Комментарий.Выпуклый четырёхугольник ABMN является описанным тогда и только тогда, когда AN+BM=AB+MN . Замечая, что MN=AB , получаем, что условие задачи выполняется в точности для треугольников, стороны которых удовлетворяют соотношению3AB=AC+BC .

Ответ задачи отсутствует