Олимпиадная задача по планиметрии: вписанный четырёхугольник и окружности (сложность 4/5)

Первый способ.Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (см. рис. 11.5а). Заметим, что ACD = ABD = 90^o (вписанные углы, опирающиеся на диаметр). Тогда AC и BD  — высоты треугольника DAE , а точка О является точкой пересечения высот этого треугольника (ортоцентром). Следовательно, EF  — еще одна высота треугольника DAE  — содержит точку О . Докажем, что вторая окружность, упомянутая в условии задачи, совпадает с окружностью, вписанной в треугольник ВСF . Воспользуемся вспомогательным утверждением: высоты треугольника DAE являются биссектрисами треугольника BCF (его ортотреугольника) (). Следовательно, точка пересечения высот треугольника DAE (точка O ) является центром окружности, вписанной в треугольник BCF . Тогда вписанная окружность совпадает с окружностью, заданной в условии, поскольку эти окружности имеют общий центр и обе касаются прямой ВС . Таким образом, касательные к окружности, проведенные из точек В и С , являются сторонами треугольника BCF и пересекаются на стороне AD в точке F , то есть точка F совпадает с точкой T . Следовательно, точка T лежит на диаметре AD , что и требовалось. () Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что FBA = EBC (см. рис.11.5а). Это, в свою очередь, следует из того, что каждый из этих углов равен углу ADE . Действительно, EBC = 90^o - CBD = 90^o - CAD = ADE . Аналогично, если рассмотреть окружность, проходящую через точки B , F , D и E , получим, что EBC = ADE . Другой возможный способ — доказать, что каждый из треугольников ABF и ВЕС подобен треугольнику AED . Второй способ.

Пусть точка T не лежит на отрезке AD . Тогда прямая CT пересекает AD в некоторой точке K , а прямая BT пересекает AD в точке P (см. рис. 11.5б). Используя то, что СА  — биссектриса угла BCK и свойство углов, вписанных в окружность, получим: ACK = BCA = BDA , следовательно, около четырёхугольника OCDK можно описать окружность. При этом, угол OCD  — прямой (вписанный и опирается на диаметр AD ). Значит, и угол OKD  — также прямой. Аналогично доказывается, что угол OPА  — прямой. Таким образом, через точку О проходят два перпендикуляра к одной прямой AD , что невозможно. Значит, точки P и K совпадают с точкой T , что и требовалось. При решении первым способом от учащихся не требуется доказательство вспомогательного утверждения (если оно сформулировано), а при решении вторым способом — не требуется рассмотрения различных случаев расположения точки Т относительно прямой AD .

Ответ задачи отсутствует