Олимпиадная задача о квадратном трёхчлене и теореме Виета для 8–10 класса
Задача
Вася отвечает теорему Виета: "Сумма трёх коэффициентов квадратного трёхчлена равна одному из его корней, а произведение – другому".
Экзаменатор: "Неверно".
Вася: "Как же неверно? Я проверил для случайно выбранного трёхчлена, и всё получилось".
Какой это мог быть трёхчлен, если его коэффициенты – целые числа?
Решение
Пусть m – корень, равный сумме коэффициентов, n – корень, равный их произведению, a – старший коэффициент. Если коэффициенты целые, то их сумма и произведение m, n тоже целые.
Согласно теореме Виета уравнение имеет вид ax² – a(m + n)x + amn = 0.
Поэтому фактически Вася утверждает, что m = a – a(m + n) + amn, n = – a³(m + n)mn.
Перепишем первое равенство в виде m = a(1 – m)(1 – n); тогда 1 = a(1 – m)(1 – n) + (1 – m).
Таким образом, 1 делится на 1 – m, откуда m = 0 или 2. Если m = 0, то ввиду второго равенства n = 0, а тогда из первого равенства a = 0, что невозможно для старшего коэффициента трёхчлена.
Остаётся случай m = 2. Тогда второе равенство превращается в n(1 + 2a³n²) = 0, откуда n = 0. Теперь из первого равенства находим, что a = –2, и искомый трёхчлен равен –2x² + 4x.
Ответ
–2x² + 4x.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь