Олимпиадная задача по планиметрии и теории чисел: параллельные диагонали многоугольника
Задача
Существует ли правильный многоугольник, в котором ровно половина диагоналей параллельна сторонам?
Решение
Диагональ параллельна стороне, если между концами стороны и концами диагонали находится по равному числу сторон. Значит, диагональ параллельна какой-то стороне, если один из отсекаемых ею многоугольников имеет чётное число сторон. Поэтому если число сторон правильного многоугольника нечётно, то каждая его диагональ параллельна какой-то стороне. Если же число сторон чётно (равно 2k), то из каждой вершины выходит 2k – 3 диагонали, из которых только каждая чётная по порядку, считая от стороны, параллельна какой-то стороне, то есть диагоналей, параллельных сторонам, меньше половины.
Ответ
Не существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь