Олимпиадная задача по планиметрии и стереометрии: тетраэдр, сфера и точки на рёбрах для 10-11 класса
Задача
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты точки E и F так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E и F , в точках M и N . Найдите длину отрезка EF , если ME:EF:FN=3:12:4.
Решение
Положим ME = 3t , EF=12t , FN=4t . Пусть P и Q – середины рёбер AB и CD соответственно. Отрезок, соединяющий середины противоположных
рёбер правильного тетраэдра, перпендикулярен этим рёбрам, его длина
равна 
, где a – длина ребра тетраэдра.
Обозначим PE = x , FQ=y . По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд шара AE· EB = ME· EN , CF· FD = NF· FM , или
-x)(+x)=3t· 16t,
(-y)(+y)=4t· 15t.
-x2 = 48t2, -y2 = 60t2,
-108t2.
Из прямоугольных треугольников EPQ и FQP находим, что
+ y2.
-108t2 + , откуда t2 =
, t = 
. Следовательно, EF = 12t = 
.
Ответ
.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет