Олимпиадная задача по стереометрии: сечение пирамиды SABCD, 10-11 класс

Олимпиадная задача по стереометрии: сечение правильной четырёхугольной пирамиды

Задача

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания пирамиды равна b , а высота пирамиды равна b . Шар, вписанный в эту пирамиду, касается боковой грани SAD в точке K . Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро AB и точку K .

Решение

Пусть SH – высота данной пирамиды, SM – апофема, лежащая в грани ASD . Тогда точка K касания шара с плоскостью этой грани лежит на отрезке SM , MK = MH = как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки. Из прямоугольного треугольника SMH находим, что

SM = = = b.

Тогда

SK = SM-MK = b-=b, = 2,

значит, K – точка пересечения медиан треугольника ASD и прямая AK пересекает ребро SD в его середине P .

Секущая плоскость проходит через прямую AB , параллельную плоскости CSD , и пересекает эту плоскость по прямой PQ (точка Q на ребре SC ), поэтому сечение APQB – трапеция с основаниями AB=b и PQ= .

Пусть T – ортогональная проекция точки P на плоскость основания пирамиды, а PN – высота трапеции APQB . Тогда точка T лежит на диагонали BD квадрата ABCD , T – середина DH , а TN AD по теореме о трёх перпендикулярах, причём TN = AD = b и PT = SH = .