Математическая задача: площадь сечения пирамиды SABC

Задача

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC , а все боковые грани имеют равные площади. Ребро SA равно 2, ребро SB равно . Через вершину B проведено сечение пирамиды перпендикулярно ребру SC . Найдите площадь этого сечения.

Решение

Поскольку боковые грани пирамиды равновелики, а их основания равны как стороны равностороннего треугольника, высоты боковых граней, проведённые из общей вершины S , также равны между собой. Значит, высота SH пирамиды проходит либо через центр вписанной, либо через центр одной из вневписанных окружностей основания ABC , а т.к. по условию задачи пирамида не является правильной ( SA>SB ), то высота проходит через центр H вневписанной окружности, причём эта окружность касается стороны BC и продолжений сторон AC и AB .

Пусть r – радиус этой окружности, сторона основания ABC равна a , M – середина BC . Тогда

HM=, HA = HM+AM = a.

Опустим перпендикуляр SP из вершины пирамиды на прямую AB . По теореме о трёх перпендикулярах HP AB , значит, HP – радиус рассматриваемой вневписанной окружности. Из прямоугольных треугольников SHA , SBP и SHP находим, что

SH2 = SA2-HA2 = 4-3a2, SP2 = SB2-BP2 = 2- a2,

SH2 = SP2-HP2 = 2- a2-a2 = 2-a2.

Из уравнения4-3a2= 2-a2находим, что a=1. Тогда SH = 2-a2=1.

Пусть BK – высота треугольника SBC со сторонами SB=SC= , BC=1. Тогда

BK· SC = BC· SM, BK = = = .

Поскольку SB>BC , треугольник SBC – остроугольный, поэтому точка K лежит на отрезке SC . Из прямоугольного треугольника SKB находим, что

SK = = = .

Секущая плоскость проходит через точку B перпендикулярно прямой SC , поэтому она пересекает ребро SC в точке K , а т.к. угол ACS – тупой, то точка L пересечения секущей плоскости с прямой SA лежит на ребре SA . Таким образом, сечение, о котором говорится в условии задачи, – треугольник BKL .

Пусть отрезки SM и BK пересекаются в точке E . Прямая BC перпендикулярна плоскости AMS , значит, LE BC , а т.к. LE SK , то прямая LE перпендикулярна плоскости SBC , поэтому LE KB , т.е. LE – высота треугольника сечения BKL .

Обозначим ASM = α . По теореме косинусов

cos α = = = , tg α = .

Прямоугольные треугольники SKE и SMC подобны, поэтому

=, SE = = = .

По теореме о трёх перпендикулярах SE LE ( SK – перпендикуляр к секущей плоскости, KE – ортогональная проекция наклонной SE ). Из прямоугольного треугольника SEL находим, что