Олимпиадная задача по стереометрии: построение параллелепипеда по серединным точкам

Будем считать, что точки A , B , C , D , A1, B1, C1, D1и есть изображения вершин параллелепипеда. Предположим, что изображение ABCDA1B1C1D1параллелепипеда построено, а точки K , L , M и N – середины отрезков AB1, BC1, CD и A1D1соответственно. Тогда KL – средняя линия треугольника BA1C1. Поэтому KL || A1C1и KL= A1C1.

Если F – середина C1D1, то FN – средняя линия треугольника A1D1C1. Поэтому FN || A1C1и FN =A1C1. Значит, NF || KL и NF = KL . Следовательно, четырёхугольник KNFL – параллелограмм. Аналогично докажем, что если E – середина AD , то четырёхугольник KLME – параллелограмм. Изображения AA1, BB1, CC1и DD1боковых рёбер параллелепипеда, а также отрезки, соединяющие середины AB и A1B1, равны и параллельны отрезкам MF и NE . Отсюда вытекает следующее построение.

Достроив треугольники KLN и KLM до параллелограммов KLFN и KLME , получим середины F и E рёбер C1D1и AD соответственно. Через точку K проведём прямую, параллельную NE , и отложим на ней по разные стороны от точки K отрезки KP и KQ , равные половине NE . Получим середины P и Q отрезков AB и A1B1. Аналогично построим середины G и H отрезков BC и B1C1соответственно. Таким образом, осталось построить параллелограмм ABCD по серединам M , E , P и G его сторон. Для этого через точки M и P проведём прямые, параллельные EG , а через точки E и G – прямые, параллельные MP . Аналогично строится параллеллограмм A1B1C1D1.

Ответ задачи отсутствует