Задание олимпиады: задача по планиметрии для 9-11 классов о точках и векторах

Олимпиадная задача: перенумерация точек на плоскости и углы между векторами

Задача

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Решение

Выберем на плоскости начало координат O и рассмотрим сумму S= . Выберем такую нумерацию точек B_i , что соответствующая сумма S максимальна. Рассмотрим теперь нумерацию точек B , в которой B_i и B_j обозначены B_j и B_i и ее сумму S' . По предположению максимальности S S' , но