Олимпиадная задача по планиметрии: точки на окружности и равноудалённость центров

  Если  AB = BC,  то утверждение очевидно.

  Пусть для определенности  AB < BC  (см. рис.).

  Обозначим черезI₁,I₂центры вписанных окружностей треугольниковAKBиCLBсоответственно, черезP, Q– вторые точки пересечения прямыхBI₁,BI₂с описанной окружностью треугольникаABC, а черезR– середину дугиABCэтой окружности. Тогда  PA = QC  как хорды, стягивающие половины равных дуг.   Так как  ∠PAI₁= ∠PAK+ ∠KAI₁= ∠PBK+ ∠BAI₁= ∠ABI₁+ ∠BAI₁= ∠AI₁P,  то треугольникAI₁Pравнобедренный, и  PA = PI₁.  Аналогично  QC = QI₂,  следовательно,PI₁=QI₂.   Далее,  PR = QR  как хорды, стягивающие равные дуги, а  ∠I₂QR= ∠I₁PRкак углы, опирающиеся на одну дугу. Значит, треугольникиRI₁PиRI₂Qравны по двум сторонам и углу между ними, и  RP = RQ.

Ответ задачи отсутствует