Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 8–10 класса

  Предположим противное. Заметим, что через каждую точку пересечения двух прямых проходит красная прямая. Рассмотрим синюю прямую l; пусть A, B – две наиболее удалённые друг от друга точки пересечения l с красными прямыми, m и n – красные прямые, проходящие через A и B, C – точка пересечения m и n. Тогда через C проходит синяя прямая p, которая пересекает l в какой-то точке D отрезка AB, иначе A и B – не наиболее удалённые (рис. слева).

  Рассмотрим все четвёрки прямыхl', m', n', p', расположенных какl, m, n, p(l', p'– одного цвета;m', n'– другого;m', n', p'пересекаются в одной точке; точка пересеченияp'иl'лежит между точками пересеченияl'сm'иn'), и рассмотрим среди них такую, в которой прямыеl', m', n'образуют треугольник наименьшей площади (рис. справа). Тогда через точкуD'проходит прямаяq', одноцветная сm'. Она пересекает либо отрезокB'C', либоA'C'(пусть, для определенности,B'C'). Тогда прямыеn', l', p', q'образуют конфигурацию с треугольником меньшей площади. Противоречие.

Ответ задачи отсутствует