Олимпиадная задача по многочленам и делимости для 9–11 классов от Агаханов Н. Х.

Пусть a₀ – свободный член многочлена P(x). Тогда  P(x) = xQ(x) + a₀,  где Q(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Поэтому  P(19) = 19n + a₀,  а  P(94) = 94m + a₀,  где m и n – целые числа. Из условия вытекает, что  19n = 94m,  следовательно,  n = 94k,  m = 19k.  Итак,  19·94k + a₀ = 1994,  откуда

a₀ = 1994 – 1786k.  Из условия  |a₀| < 1000  следует, что  k = 1,  и  a₀ = 208.