Олимпиадная задача: возрастающие арифметические прогрессии из простых чисел

  Пусть d – разность прогрессии. Если  d = 1,  то в прогрессии есть чётные числа. Поскольку единственное чётное простое число – это 2, получаем прогрессию  (2, 3).

  Если  d = 2,  то три последовательные члена прогрессии дают при делении на 3 попарно различные остатки. Поэтому один из них делится на 3 и, будучи простым числом, равен 3. Получаем прогрессию  (3, 5, 7).

  Пусть  d > 2.  Последние  d – 1  членов прогрессии дают попарно различные остатки при делении на  d – 1,  следовательно, один из этих членов кратен  d – 1 > 1.  Но он больше d, значит, не может быть простым числом. Противоречие.

(2, 3),  (3, 5, 7).