Олимпиадная задача по планиметрии: сумма диаметров окружностей в треугольнике

Решение 1:   Точки касания вписанной окружности со сторонами шестиугольника и его вершины разбивают его периметр на 12 частей, при этом шесть выходят из вершин прямых углов, а шесть – из вершин тупых (назовём эти последние части важными). Длины всех не важных частей равны R  (HN = HL = R,  так как INHL – квадрат со стороной R), поэтому сумма длин шести важных частей равна  Q – 6R.  Рассмотрим один из прямоугольных треугольников CGH (H – вершина прямого угла, на какой из сторон треугольника ABC она расположена нам неважно). Касательные, проведённые из точки H, обозначим HL и HN, а касательные из точки G – GK и GN.

  Пусть вписанная в треугольникCGHокружность касается стороныGHв точкеP. Как известно,  HP = GN  (N– точка касания вневписанной окружности). Поэтому  d_C= 2HP= 2GN = GN + GK.   Повторив аналогичные вычисления для остальных треугольников, получим, что искомая сумма диаметров равна сумме длин шести важных частей периметра, то есть  Q– 6R.

Решение 2:   Сумма трёх сторон описанного шестиугольника, взятых через одну, очевидно равна сумме остальных трёх сторон. Отсюда и из задачи 155484 сразу следует, что сумма радиусов окружностей, "вписанных в прямоугольные треугольники", плюс 3R равна ^Q/₂.  Значит, сумма их диаметров равна  Q – 6R.

Q – 6R.