Назад

Олимпиадная задача по стереометрии: точки касания сферы и четырёхугольника

Задача 209021 • Сложность: 3 • 10-11 класс
Задача

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

Разделы:
Стереометрия
Источники:
Белорусские республиканские математические олимпиады Олимпиады и турниры
Количество версий:
5
Решение

Решение 1 Пусть четырехугольник ABCD описан около сферы и K,L,M,N – точки касания с шаром прямых AB,BC,CD и DA соответственно (рис.). По свойству касательных к шару получим:

AK=AN, BK=BL, CL=CM, DM=DN.

Проведем через точки K,L,M плоскость α . Эта плоскость пересечет прямую AD в некоторой точке N1 , ибо точки A и D лежат по разные стороны плоскости α . Допустим, что N1 не совпадет с точкой N . Пусть, например, AN1 и тогда DN1>DN . Поскольку равные наклонные образуют с плоскостью равные углы, то AB и BC образуют с плоскостью α равные углы ( BK=BL ). Тот же угол образует с плоскостью α прямая DC (ибо CM=CL и DC образует с плоскостью тот же угол, что и BC ). Сравнивая AK и AN1 , получим, что прямая AD образует с плоскостью α угол, больший, чем , так как большая наклонная образует с плоскостью меньший угол. Сравнивая DN1 с DM , получим, что этот угол меньше . Полученное противоречие показывает, что точка N1 должна совпасть с точкой N . То же получили бы, предположив, что AN1 больше AN .

Решение 2

Пусть сфера касается сторон AB, BC, CA и AD в точках K, L, M и N соответственно. Тогда AN = AK, BK = BL, CL = CM и DM = DN. Поэтому

$\displaystyle {\frac{AK}{BK}}$ . $\displaystyle {\frac{BL}{CL}}$ . $\displaystyle {\frac{CM}{DM}}$ . $\displaystyle {\frac{DN}{AN}}$ = 1.(()1)

Рассмотрим точку N', в которой плоскость KLM пересекает прямую DA. Покажем, что

$\displaystyle {\frac{AK}{BK}}$ . $\displaystyle {\frac{BL}{CL}}$ . $\displaystyle {\frac{CM}{DM}}$ . $\displaystyle {\frac{DN'}{AN'}}$ = 1.(()2)
Для этого рассмотрим проекцию на прямую, перпендикулярную плоскости KLM. Точки K, L, M и N' при этом проецируются в одну и ту же точку X. Пусть A1, B1, C1, D1 — проекции точек A, B, C, D. Отношения отрезков, лежащих на одной прямой, при проекции сохраняются, поэтому
$\displaystyle {\frac{AK}{BK}}$ . $\displaystyle {\frac{BL}{CL}}$ . $\displaystyle {\frac{CM}{DM}}$ . $\displaystyle {\frac{DN'}{AN'}}$ = $\displaystyle {\frac{A_1X}{B_1X}}$ . $\displaystyle {\frac{B_1X}{C_1X}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1X}{D_1X}}$ . $\displaystyle {\frac{D_1X}{A_1X}}$ = 1.

Из равенств (1) и (2) следует, что DN : AN = DN' : AN', поэтому N = N' (обе точки N и N' лежат на отрезке AD).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название 15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год 1965
Номер 15
Задача
Название Задача 11.3
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет