Может ли сумма k(k+1) при k = 6p–1 быть квадратом? Олимпиадная задача по теории чисел

Данную сумму можно представить в виде

    (1² + 1) + (2² + 2) + ... + (k² + k) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (1² + 2² + ... + k²) = ½ (k(k + 1)) + ⅙ (k(k + 1)(2k + 1)) = ⅓ (k(k + 1)(k + 2)) = 2p(36p² – 1).

Но числа 2p и  36p² – 1  взаимно просты, а второе из них квадратом быть не может.

Не может.