Олимпиадная задача по планиметрии: найти углы треугольника с равными вписанными квадратами
Задача
Найти углы треугольника, если известно, что все вписанные в него квадраты равны (каждый из квадратов вписан так, что две его вершины лежат на одной из сторон треугольника, а остальные вершины на двух других сторонах треугольника).
Решение
Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а опущенные на них высоты – ha, hb и hc. Согласно задаче 153756 стороны вписанных квадратов равны aha/a+ha, bhb/b+hb, chc/c+hc. По условию эти числа равны.
Числители полученных дробей равны между собой (это удвоенная площадь треугольника). Следовательно, равны и знаменатели:
a + ha = b + hb = c + hc. Но поскольку aha = bha = cha, три пары чисел, выражающих сторону и опущенную на неё высоту данного треугольника, должны удовлетворять одному и тому же квадратному уравнению. В силу единственности пары решений квадратного уравнения эти три пары совпадают, откуда следует, что треугольник ABC – равносторонний (учитывая, что наименьшая высота меньше наименьшей стороны).
Ответ
Все углы равны 60°.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь