Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 класса: центры вписанных окружностей в прямоугольных треугольниках

Пусть O – центр круга, вписанного в один из прямоугольных треугольников с гипотенузой c (рис.). Точка O лежит на биссектрисах углов треугольника. OAC=1/2 BAC, OCA=1/2 BCA, OAC+ OCA=1/2 ( BAC+ BCA)= 1/2 90^o=45^o ( BAC+ BCA – сумма острых углов прямоугольного треугольника), AOC=180^o-( OAC+ OCA)=180^o-45^o=135^o (из треугольника AOC ). Следовательно, множество центров кругов, вписанных в прямоугольные треугольники с общей гипотенузой, есть множество точек, из которых эта гипотенуза видна под углом в 135^o . Это – две дуги, стягивающие хорды, являющиеся сторонами вписанного в круг квадрата, ибо вписанные в эти дуги углы измеряются половинами дуг в 270^o , а значит, сами дуги содержат 90^o . Поскольку стягиваемая этими дугами хорда есть гипотенуза наших прямоугольных треугольников, то радиус искомых дуг равен c/2 .

Ответ задачи отсутствует