Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов от Крыжановского О. Ф.
Задача
В остроугольном неравностороннем треугольнике через одну вершину проведена высота, через другую – медиана, через третью биссектриса.
Докажите, что если проведённые линии, пересекаясь, образуют треугольник, то он не может быть равносторонним.
Решение
Пусть высота AH треугольника ABC пересекает медиану BM в точке P, биссектрису CL – в точке R, а биссектриса CL и медиана BM пересекаются в точке Q. Допустим, что треугольник PQR – равносторонний. Тогда ∠RCH = 90° – ∠CRH = 90° – 60° = 30°, ∠C = 60°.
Кроме того, ∠PBH = 90° – ∠BPH = 90° – ∠RPQ = 90° – 60° = 30°, ∠BMC = 90°.
Значит, BM – высота и медиана треугольника ABC. Поэтому треугольник ABC – равнобедренный, а так как один из его углов (угол C) равен 60°, то он – равносторонний. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь