Найдите расстояние между ребрами тетраэдра — олимпиадная задача по стереометрии

Решение задачи отсутствует

. Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром a , M – центр грани ABC (рис.1). Поскольку DM – высота тетраэдра, угол между ребром AD и плоскостью грани ABC – это угол DAM . Обозначим его α . В прямоугольном треугольнике DAM известно, что AD = a , AM = . Следовательно,

cos α = cos DAM = = = = , sin α = .

Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро AD и середину L противоположного ему ребра BC . Поскольку AL BC и DL BC , ребро BC перпендикулярно секущей плоскости. Поэтому высота LF треугольника ADL есть общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AD и BC . Из прямоугольного треугольника AFL находим, что

FL = AL sin FAL = AL sin α = · = .

Достроим правильный тетраэдр ABCD до параллелепипеда, проведя через его противоположные ребра три пары параллельных плоскостей (рис.2). Поскольку противоположные ребра правильного тетраэдра попарно равны и перпендикулярны, построенный параллелепипед – куб, диагональ грани которого равна a . Расстояние между противоположными ребрами тетраэдра равно ребру этого куба, т.е. .