Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов: отношение отрезков в параллелограмме

Угол при вершине A треугольника ABC – острый, поэтому вершина A и центр O описанной окружности этого треугольника лежат по одну сторону от прямой BD.  ∠BOD = 2∠BAD = 120° = 180° – ∠BCD.  Значит, четырёхугольник OBCD – вписанный. Поскольку вписанные углы BCO и DCO опираются на равные хорды OB и OD, то CO – биссектриса угла BCD, а так как CK – биссектриса смежного с ним угла, то  ∠OCK = 90°.

  ПустьO₁– центр описанной окружности треугольникаCDB. Заметим, что треугольникиCDBиABDсимметричны относительно центра параллелограмма, поэтому отрезкиAOиO₁Cравны и параллельны.   Серединный перпендикуляр к отрезкуOCпроходит через точкуO₁и параллеленCK. Значит, он проходит через серединуMотрезкаOK, аO₁CKM– параллелограмм. Следовательно,  OM = MK = O₁C = AO.

2 : 1.