Олимпиадная задача по планиметрии: биссектриса в угле с окружностями, 8-9 класс
Задача
Внутри прямого угла KLM взята точка P. Окружность S1 с центром O1 касается сторон LK и LP угла KLP в точках A и D соответственно, а окружность S2 с центром O2 такого же радиуса касается сторон угла MLP, причём стороны LP – в точке B. Оказалось, что точка O1 лежит на отрезке AB. Пусть C – точка пересечения прямых O2D и KL. Докажите, что BC – биссектриса угла ABD.
Решение
Поскольку O1D = O2B и O1D || O2B (как перпендикуляры к прямой LP), то DO1BO2 – параллелограмм, поэтому CO2 || AB || LE, где E – точка касания окружности S2 с прямой LM. Значит, CLEO2 – прямоугольник. Поэтому CL = O2E = O2B. Точки C и B лежат на окружности с диаметром LO2. Вписанные углы CBL и BCO2 этой окружности опираются на равные хорды CL и O2B и поэтому равны, а так как CO2 || AB, то ∠CBL = ∠BCO2 = ∠ABC.
Следовательно, BC – биссектриса угла ABD.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь