Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: точка пересечения медиан в треугольнике, 8-9 класс

Задача 208095 • Сложность: 4 • 8-9 класс
Задача

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC , AC и AB , взяты точки A1, B1и C1соответственно, причём A1B1 MC и A1C1 MB . Докажите, что точка M является точкой пересечения медиан и в треугольнике A1B1C1.

Решение

Обозначим

=, =, =, =, =, =.

Пусть A2, B2и C2– середины сторон BC , AC и AB соответственно. Тогда

= = · (+)= (-), = -,

= = · (+)= (-), = -.

По условию задачи следующие скалярные произведения равны0:

· = · = · = 0,

(-)· (-) = · 3= 3· =0,

(-)· (-) = · 3 = 3· = 0

· + · = · + · =0.

Поскольку =-- и =-- , то

0= · + · = (--)· + (--)· = -· - · .

Аналогично,

0= · + · = (--)· + (--)· = -· - · .

Докажем, что ++= (отсюда будет следовать, что M – точка пересечения медиан треугольника A1B1C1).

Действительно,

· (++) = · +· =0,

· (++) = · +· =0,

а т.к. векторы и неколлинеарны, то ++=0

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет