Задание олимпиады: равенство кругов K₁ и K₂

Задача

Даны две окружности, лежащие одна вне другой. Пусть A₁ и A₂ – наиболее удалённые друг от друга точки пересечения этих окружностей с их линией центров, так что A₁ лежит на первой окружности, а A₂ – на второй. Из точки A₁ проведены два луча, касающиеся второй окружности, и построен круг K₁, касающийся этих лучей и первой окружности изнутри. Из точки A₂ проведены два луча, касающиеся первой окружности, и построен круг K₂, касающийся этих лучей и второй окружности изнутри. Докажите, что круги K₁ и K₂ равны.

Решение

Пусть R₁ и R₂ – радиусы первой и второй окружностей соответственно, O₁ и O₂ – центры этих окружностей, B₁ – точка касания с кругом K₁ луча с началом в точке A₁, касающегося второй окружности в точке B₂, A₁A₂ = d, ₁ – радиус круга K₁ с центром Q, r₂ – радиус круга K₂ (см. рисунок). Из подобия треугольников A₁B₁Q и A₁B₂O₂ следует, что или Отсюда