Олимпиадная задача по стереометрии: выпуклое тело с круглыми проекциями (10–11 класс)

 Первый способ. Введем в пространстве координаты и рассмотрим координатные плоскости$\alpha$,$\beta$и$\gamma$, заданные уравнениямиx= 0,y= 0 иz= 0 соответственно. Рассмотрим шарB, заданный неравенством

Его проекция на плоскость$\alpha$— круг радиуса 1 с центром в начале координат. Множество точек, которые проецируются в этот круг, представляет собой цилиндр (обозначим егоC₁), который задается неравенствомАналогично определим цилиндрыC₂иC₃, как множества точек, которые проецируются в единичные круги с центрами в начале координат, лежащие в плоскостях$\beta$и$\gamma$соответственно. Пусть C — пересечение цилиндров C₁, C₂ и C₃. Мы утверждаем, что C — требуемое тело. Оно выпукло, так как пересечение выпуклых множеств выпукло.

Покажем, что проекции тела C на плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — круги. Рассмотрим, например, плоскость $\alpha$. Проекция тела C на эту плоскость содержится в единичном круге, так как проекция цилиндра C₁ совпадает с единичным кругом, а C содержится в C₁. С другой стороны, этот единичный круг содержится в теле C, значит, проекция содержит круг. Итак, проекция тела C на плоскость $\alpha$ содержит единичный круг и содержится в единичном круге, а, значит, совпадает с ним.

Осталось доказать, что тело C не является шаром. Точка

$\Bigl($${\frac{\sqrt2}{2}}$,${\frac{\sqrt2}{2}}$,${\frac{\sqrt2}{2}}$$\Bigr)$ содержится в каждом из цилиндров C₁, C₂ и C₃ (например,

x² + y² = ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{1}{2}}$$\le$1), так что эта точка содержится в C. С другой стороны, она не принадлежит единичному шару — расстояние от нее до начала координат равно

ПоэтомуC$\ne$B. Остается один вопрос, который может показаться глупым: а не может ли C оказаться шаром, отличным от B? Нетрудно видеть, что не может: проекции тела C на плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ такие же как у шара B, но ясно, что два шара, имеющие одинаковые проекции на координатные плоскости, совпадают (проверьте!).

Второй способ. [набросок] Рассмотрим шар и его проекции на три плоскости. Пусть некоторая точка A сферы не проецируется ни на одну из границ проекций. Тогда некоторый круг с центром в точке A обладает тем же свойством. Отрежем от шара соответствующий кусочек — получим фигуру, не являющуюся шаром, но дающую те же самые проекции на рассматриваемые плоскости.

Ответ задачи отсутствует