Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 класса — Серия Егоров А. А.
Задача
Точки Ia, Ib и Ic – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC, I — центр вписанной окружности этого треугольника. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC проходит через середины сторон треугольника IaIbIc и середины отрезков IIa, IIb и IIc.
Решение
Заметим, что точки A, B и C – основания высот треугольника IaIbIc (см. задачу 156831), поэтому окружность, описанная около треугольника ABC, есть окружность девяти точек треугольника IaIbIc. Значит, эта окружность проходит через середины сторон треугольника IaIbIc. Поскольку IaA, IbB, IcC – высоты треугольника IaIbIc, точка I – ортоцентр этого треугольника. Следовательно, описанная окружность треугольника ABC проходит и через середины отрезков IIa,IIb и IIc.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь