Олимпиадная задача по стереометрии: уникальные тетраэдры с неравными гранями

Допустим, такой тетраэдрABCDсуществует. Заметим сначала, что из одной вершины не может выходить три равных ребра. Действительно, еслиАВ=АС=AD, то, так как среди отрезковВС,BDиCDесть хотя бы два равных {ABCD— равнобедренный), то среди треугольниковABC,ABD,ACDесть хотя бы два равных. Далее заметим, что две соседние грани — равнобедренные треугольники, не могут иметь общее основание¹. Действительно, еслиАВ=АСиDB=DC, то треугольникиADBиADCравны. Теперь заметим, что ни один из треугольников не может быть равносторонним. Действительно, еслиАВ=ВС=АС, то хотя бы одно из рёберАВ,ВС,АСявляется основанием в обоих содержащих его треугольниках (почему?). Далее, без ограничения общности можно считать, чтоАВ=АС,ВС=BD. Тогда, так какAD≠АВ, тоAD=BD. Аналогично,DC=АВ. Следовательно, треугольникиABCиACDравны. Следовательно, такого тетраэдра не существует. ¹Сторону треугольника будем называть основанием в случае, если две другие стороны этого треугольника равны между собой; у равностороннего треугольника все стороны называются основаниями.

Нет, не существует.