Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 7–9 класса: четыре точки квадрата и построение новых точек

Идея решения.Надо ставить точки на серединные перпендикуляры к "старым отрезкам" так, чтобы на серединные перпендикуляры к "новым отрезкам" попадали старые точки. А именно, пусть в квадратеABCDточкаЕ— середина стороныAD, а точкаF— середина стороныCD. Постараемся поставить точкуКна прямуюEFтак, чтобы серединный перпендикуляр к отрезкуKАпрошёл через одну из вершин исходного квадратаABCD. Таких вариантов шесть. Из них первый и пятый варианты (K₁иK₅) дают верный путь к одному из решений, третий и четвёртый варианты (K₃иK₄) — ко второму решению. Эти решения получаются, если построить на сторонах квадрата равносторонние треугольники, соответственно наружу и внутрь. На верхней части рисунка (вариантK₁иK₅) отрезокK₁Алежит на серединном перпендикуляре к стороне равностороннего треугольника с основаниемАВ(это показано пунктирным поясняющим отрезком). К другому пунктирному отрезку, выходящему из точкиА, серединным перпендикуляром является отрезокDK₁. На нижней части рисунка (вариантK₃иK₄) проведены пунктиром два поясняющих отрезка:AK₃и серединный перпендикуляр к нему, проходящий через точкуВи ещё одну построенную точку, являющуюся вершиной равностороннего треугольника с основаниемDC. Расположение остальных серединных перпендикуляров очевидно. Аккуратное доказательство того, что две предложенные конструкции действительно удовлетворяют условию задачи, не представляет никаких трудностей, но является немного длинным и не очень интересным, поэтому здесь не приводится (все необходимые идеи и пояснения даны выше). Варианты расположения точкиK₂иK₆к решению не приводят. Можно доказать, что других решений нет. Очевидно, что любое решение должно содержать по крайней мере одну из точекK₁,K₂,K₃,K₄,K₅,K₆. То есть достаточно убедиться, что точкиK₁,K₂,K₃,K₄не достраиваются ни до каких решений, кроме двух (уже приведённых выше), а точкиK₂иK₆не содержатся ни в каком решении. Это доказательство здесь не приводится по вышеназванным причинам и не представляет существенных трудностей.

Ответ задачи отсутствует