Олимпиадная задача по стереометрии: выпуклый многогранник и диагонали куба

Пример. Построим куб, у которого рёбра в два раза больше, чем у исходного, и отметим середины его граней. Ясно, что можно построить октаэдр с вершинами в отмеченных точках, причём все его рёбра будут равны половинкам диагоналей граней построенного куба. Таким образом, этот октаэдр и является искомым.

Существует.