Олимпиадная задача по стереометрии и планиметрии: тетраэдр с равными прямоугольными треугольниками

  Предположим, что такой тетраэдр ABCD существует (см. рис.). Пусть AB – гипотенуза треугольника ABC. Тогда AB является также и гипотенузой треугольника ABD.

  Следовательно,CD– гипотенуза треугольниковACDиBCD. Середину ребраCDобозначим черезM. Так как треугольникиACDиBCDпрямоугольные, AM=BM= ½CD= ½AB,  то есть  AB = AM + MB.   Значит, точкиA, MиBлежат на одной прямой, а точкиA, B, CиD– в одной плоскости. Противоречие.

Не существует.