Олимпиадная задача по стереометрии и теории чисел: свойства многоугольников на многограннике (10–11 класс)
Задача
По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.
Решение
Выберем любую из получившихся частей. Рассмотрим сумму a1 + a2 + ... + an, где ai – количество сторон i-й грани.
Каждое ребро многогранника, по которому ломаная не проходит, посчитано в этой сумме дважды, и поэтому чётность суммы не зависит от числа таких рёбер. Каждое ребро, через которое проходит ломаная, входит в сумму ровно один раз. Таких рёбер 2003, поэтому вся сумма нечётна. Значит, количество нечётных слагаемых нечётно, что и требовалось.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь