Олимпиадная задача по стереометрии: перевороты кубика и углы поворота изображения
Задача
На столе лежит кубик, на его верхней стороне нарисована картинка. Кубик несколько раз перекатывали по столу через ребро, после чего он вновь оказался на прежнем месте. Могло ли оказаться, что картинка повернута а)на 180 градусов по сравнению с исходным положением; б) на 90 градусов?
Решение
а) Могло. Для этого надо прокатить кубик так, как показано на рисунке. б) Не могло. Чтобы это доказать, впишем в куб тетраэдр. Будем смотреть за положением его ребра, находящегося на верхней грани куба. Возможны два положения: "из верхней левой вершины в нижнюю правую" и "из верхней правой вершины в нижнюю левую". При каждом перекатывании положение верхнего ребра меняется. Ясно, что когда кубик вернется в исходную позицию, то положение ребра останется таким же, каким было в начале. А значит, при этом картинка не могла повернуться на 90 градусов.
$\displaystyle \alpha$
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь