Олимпиадная задача по планиметрии: равенство радиусов описанных окружностей в треугольниках
Задача
В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.
Решение
Пусть R, RA, RB, RC – радиусы описанных окружностей соответственно треугольников ABC, BMC, AMC, BMA. Как известно,
BC = 2R sin∠A = 2RA sin∠BMC. По условию, R ≤ RA, значит, sin∠A ≥ sin∠BMC. При этом ∠BAC < ∠BMC (пусть прямая BM пересекает AC в точке P, тогда ∠BMC > ∠BPC > ∠A). Поскольку синусы углов, заключенных между ∠A и 180° – ∠A, больше sin∠A, то ∠BMC ≥ 180° – ∠A, и поэтому ∠A + ∠BMC ≥ 180°. Аналогично ∠B + ∠AM ≥ 180°, ∠C + ∠AMB ≥ 180°. Складывая, получим
540° = (∠A + ∠B + ∠C) + (∠BMC + ∠AMC + ∠AMB) ≥ 540°.
Следовательно, все неравенства должны быть равенствами, в частности, R = RA.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь