Олимпиадная задача по планиметрии: четырёхугольник ABCD, окружности, треугольники
Задача
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Описанные окружности треугольников ABO и CDO, пересеклись второй раз в точке F. Докажите, что описанная окружность треугольника AFD проходит через точку E пересечения отрезков AC и BD.
Решение
Будем использоватьориентированные углы(их определение и свойства см. вСправочнике). Заметим, что ∠(AB, BO) + ∠(BD, AD) = ∠(AB, BO) + ∠(BB, AB) = ∠(BB, BО) = 90° (здесьBB– касательная к окружности в точкеB, и она перпендикулярна радиусу). Аналогично доказывается, что ∠(CD, DO) + ∠(AD, AC) = 90°. Кроме того, ∠(AF, FO) = ∠(AB, BO), ∠(FO, FD) = ∠(СO, СD). Отсюда ∠(AF, FD) = ∠(AF, FO) + ∠(FO, FD) = ∠(AB, BO) + ∠(СO, СD) = 90° – ∠(BD, AD) + 90° – ∠(AD, AC) = = 180° – (∠(DE, AD) + ∠(AD, СE)) = 180° – ∠(DE, AE) = ∠(AE, AD). Значит, точкиA, F, E, Dлежат на одной окружности.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь