Пусть ABCD – правильная треугольная пирамида с вершиной D , O – центр её основания ABC . Рассмотрим три конуса с общей вершиной O , вписанных в треугольные пирамиды OABD , OBCD и OACD ("каркасы" конусов) так, что их основания вписаны в треугольники ABD , BCD и ACD соответственно, причём каждые два конуса имеют ровно одну общую образующую.

Пусть O1– центр основания конуса, вписанного в пирамиду OABD , а OK – образующая этого конуса, являющаяся также образующей конуса, вписанного в пирамиду OBCD . Тогда O1K BD , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах OK BD , значит, OK – высота прямоугольного треугольника OBD , проведённая из вершины прямого угла.

Обозначим AB = BC = AC = a . Если M – середина AB , то

OK = OM = , OB = , cos BOK = = = ,

поэтому BDO = BOK = 60^o . Следовательно,

DO = OB ctg 60^o = · = a.

Пусть угол при вершине осевого сечения равен2α . Тогда

tg α = tg MOO1= tg MDO = = = ,

cos 2α = = .

2 arctg = 2 arccos = arccos .