Несложно подобрать три натуральных числа так, что сумма каждых двух из них делится на третье: 1, 2 и 3. Заметим, что одно из этих чисел равно сумме двух других  (3 = 2 + 1).  Добавим к этим числам ещё одно - их сумму. Полученный набор чисел  (1, 2, 3, 6)  обладает тем свойством, что сумма каждых трёх из них делится на четвёртое.

  Покажем, что добавляя таким образом к уже имеющимся числам их сумму, мы получим набор, обладающий нужным свойством. Если есть числа a₁, a₂, ..., a_k, сумма любых  k – 1  из которых делится на оставшееся, то  S_k = a₁ + a₂ + ... + a_k  делится на каждое из этих чисел. Рассмотрим набор  a₁, a₂, ..., a_k, a_k+1 = S_k.  Тогда сумма всех чисел, кроме a_i, равна  2S_k – a_i  и делится на a_i.

  Проделав такую операцию нужное количество раз, получим искомый набор: 1, 2, 3, 6, 12, 24, ..., 3·2²⁰⁰².

Существуют.