ПустьA_i— вершины данного 7-угольника,O— его центр,B₁— произвольная точка, отличная отO. Повернём вектор$\overrightarrow{OB_1}$на углы${\frac{2\pi}{7}}$, 2 · ${\frac{2\pi}{7}}$, ..., 6 · ${\frac{2\pi}{7}}$, получим 7 точекB₁,B₂, ...,B₇в вершинах правильного 7-угольника. Легко видеть, что сумма длин векторов$\overrightarrow{A_1B_1}$, ..., $\overrightarrow{A_1B_7}$равна сумме Σ длин векторов$\overrightarrow{B_1A_1}$, ...,$\overrightarrow{B_1A_7}$. Но${\frac{1}{7}}$($\overrightarrow{A_1B_1}$+ ... +$\overrightarrow{A_1B_7}$) =$\overrightarrow{A_1O}$, откуда по неравенству треугольника 7 · $\overrightarrow{A_1O}$ ≤ |$\overrightarrow{A_1B_1}$| + ... + |$\overrightarrow{A_1B_7}$| = Σ.

Ответ задачи отсутствует