Задача
ТочкаAрасположена на расстоянии 50 см от центра круга радиуса 1 см. Разрешается точкуAотразить симметрично относительно произвольной прямой, пересекающей круг; полученную точку отразить симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг, и т.д. Доказать, что: а) за 25 отражений точкуAможно переместить внутрь круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.
Решение
ПустьO— центр данного круга,DR— круг радиусаRс центромO. Докажем, что множеством образов точекDRпри симметриях относительно прямых, проходящих черезD1, является кругDR + 2. В самом деле, образы точкиOпри указанных симметриях заполняют кругD2, а круги радиусаRс центрами вD2заполняют кругDR + 2. Поэтому заnотражений из точекD1можно получить любую точку изD2n + 1и только эти точки. Остаётся заметить, что точкуAможно переместить внутрьDRзаnотражений тогда и только тогда, когда заnотражений можно перевести некоторую точку изDRвA.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь