Задача
Две одинаковые шестерёнки имеют по 32 зубца. Их совместили и спилили одновременно 6 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки окажутся целые зубцы второй шестерёнки.
Решение
Обозначим черезnчисло спиленных пар зубцов (в нашем случаеn= 6). Тогда у каждой шестерёнкиn2-n+ 2 зубцов (в нашем случае 32). Всего существуетn2−n+ 1 таких поворотов верхней шестерёнки относительно нижней, при которых все зубцы обеих шестерёнок оказываются совмещёнными. Назовём дыркой то место шестерёнки, где отсутствует зубец. Рассмотрим произвольную дырку нижней шестерёнки. Приn− 1 положениях верхней шестерёнки (кроме исходного) над этой дыркой оказывается дырка верхней шестерёнки. Но дырок на нижней шестерёнкеn, поэтому изn2−n+ 1 поворотов верхней шестерёнки только при не более, чемn(n− 1) из них наблюдаются совпадения дырок обеих шестерёнок. Поскольку (n2−n+ 1) −n(n− 1) = 1, найдётся такой поворот верхней шестерёнки, когда совпадения дырок не будет. Этот поворот искомый.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь