Пусть сначала отрезокABцеликом проходит внутри или по границе многоугольника. Обозначим черезA'точку пересечения прямойABс границей многоугольника, лежащую на продолжении отрезкаABза точкуAи ближайшую к точкеA. ТочкаB'определяется аналогично. ТочкиA'иB'разбивают границу многоугольника на две ломаных, каждая из которых имеет длину, большую, чемA'B'. В свою очередьAB$\le$A'B'. Но отрезокABне выходит из многоугольника, и, значит, его длина больше 1. Периметр многоугольника в этом случае имеет длину, большую, чем 2, что и требуется.

Пусть теперь отрезокABне проходит целиком внутри или по границе многоугольника, то есть на отрезкеABесть точки, лежащие вне многоугольника. В этом случае, кроме точекA'иB', определяемых, как и раньше, выберем ещё две точки:A'' — ближайшая кAточка пересечения отрезкаABс границей многоугольника; точкаB''определяется аналогично. (ТочкиA''иB''непременно различны, так как в противном случае весь отрезокABпроходил бы внутри многоугольника или по его границе).

ОтрезкиA'A''иB''B'лежат, по построению, внутри многоугольника и, значит, разбивают внутреннюю область многоугольника на три части. Границей одной из них является отрезокA'A''и часть границы многоугольника — ломаная$\alpha$, Точно так же граница второй области состоит из отрезкаB'B''и ломаной$\beta$. Третья часть ограничена отрезкамиA'A''иB'B''и частями границы многоугольника$\gamma$и$\delta$. ЛоманыеAA'$\gamma$B''BиAA''$\delta$B'Bне выходят из многоугольника и, по условию, имеют длину больше 1. Значит, периметр многоугольникаA''A'$\gamma$B''B'$\delta$больше 2. Остаётся отметить, что периметр данного многоугольника получается заменой отрезковA''A'иB''B'большими по длине ломаными$\alpha$и$\beta$, и потому он также больше 2.

Отметим ещё, что вместо ломаныхAA'$\gamma$B''BиAA''$\delta$B'Bможет потребоваться рассмотрение ломаныхAA'$\gamma$B'BиAA''$\delta$B''B(это зависит от расположения отрезковA'A''иB'B''в многоугольнике). Последнее замечание, однако, не создаёт новых трудностей.

Ответ задачи отсутствует