Задача
Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)
Решение
ПустьA,B,C— точки касания,A1,B1иC1— центры данных окружностей, причём точкиA,BиCлежат на отрезкахB1C1,C1A1иA1B1соответственно. ТогдаA1B=A1C,B1A=B1CиC1A=C1B. Из этого следует, чтоA,BиC— точки касания вписанной окружности треугольникаA1B1C1с его сторонами. Действительно, пустьA1B=A1C=x,B1A=B1C=yиC1A=C1B=z. Тогда, например,x=${\frac{A_1B_1+A_1C_1-B_1C_1}{2}}$и для точек касания вписанной окружности треугольникаA1B1C1со сторонамиA1B1иA1C1такое соотношение тоже выполняется. В результате получаем, что радиусыA1B,B1CиC1Aданных окружностей касаются описанной окружности треугольникаABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь