Решение 1:(b – c)³ + (c – a)³ + (a – b)³ = (b – a)((b – c)² – (b – c)(c – a) + (c – a)²) + (a – b)³ = (b – a)((b – c)² – (b – c)(c – a) + (c – a)² – (a – b)²) =

= (b – a)((b – c)(b + a – 2c) + (b + c – 2a)(c – b)) = (b – a)(b – c)(3a – 3c).

Решение 2:Положим  x = a – b,  y = b – c,  z = c – a,  при этом  x + y + z = 0.  Согласно задаче 161005 ж

x³ + y³ + z³ = x³ + y³ + z³ – (x + y + z)³ = – 3(x + y)(y + z)(x + z).

Решение 3:При  a = b  многочлен обращается в ноль, значит, по теореме Безу (см. задачу 160961) он делится на  a – b.  Аналогично он делится на  a – c  и  b – c.  Поскольку это – многочлен третьей степени, он равен  k(a – b)(b – c)(c – a).  Подставляя  a = –1,  b = 0,  c = 1,  находим, что  k = 3.

3(a – b)(b – c)(c – a).