Задача
Существует ли такая бесконечная последовательность действительных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., что $a_1 = 1$ и для всех натуральных $k$ выполняется равенство $$a_k = a_{2k} + a_{3k} + a_{4k} + \ldots ?$$
Решение
Решение 1:Подходит последовательность, где $a_k = 1/k$, если $k$ степень двойки, и $a_k = 0$ иначе.
Решение 2:Положим $a_k=\frac1{k^s}$. Найдётся такое $s$, что $$\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\frac1{5^s}+\dots=1,$$
так как дзета-функция Римана
$$\zeta(s)=1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\frac1{5^s}+\dots$$ непрерывна при $s > 1$, причём $\zeta(2)=\frac{\pi^2}6<2$ и $\zeta(s)\rightarrow+\infty$ при $s\rightarrow 1$. Тогда $$ a_{2k} + a_{3k} + a_{4k} + \ldots=\frac1{(2k)^s}+\frac1{(3k)^s}+\frac1{(4k)^s}+\ldots= \frac1{k^s}\left(\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\ldots\right)= \frac1{k^s}\cdot1=a_{k}. $$
Ответ
Существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь